분모가 다르면 왜 더할 수 없을까

1문제 상황

같은 길이의 막대를 4칸과 6칸으로 나눈 것입니다. 색칠한 칸은 둘 다 “1칸”이지만 실제 크기가 다릅니다.

덧셈은 같은 단위끼리만 됩니다. 3cm + 2cm는 5cm지만, 3cm + 2인치는 그대로 5라고 쓸 수 없는 것과 같습니다. 분수에서 단위 역할을 하는 것이 분모이므로, 먼저 두 막대를 같은 크기로 다시 잘라야 합니다.

2같은 크기로 다시 자르기 = 통분

4칸 막대와 6칸 막대를 둘 다 12칸으로 다시 나눠 보면, 색칠한 부분의 크기는 그대로인데 표현만 바뀝니다.

분자와 분모에 같은 수를 곱했으므로 값은 변하지 않습니다. 이제 한 칸의 크기가 같으니 3칸 + 2칸 = 5칸, 즉 512 입니다.

3배수와 공배수 — 공통분모의 후보 찾기

공통분모가 되려면 4로도 나누어떨어지고 6으로도 나누어떨어져야 합니다. 즉 4의 배수이면서 6의 배수인 수, 곧 공배수여야 합니다.

보라색이 공배수(12, 24, 36…), 색이 채워진 12가 그중 가장 작은 수인 최소공배수입니다.

공배수는 무한히 많아서 24로 통분해도 답은 맞습니다(624 + 424 = 1024). 다만 마지막에 1024을 512로 약분하는 일이 남습니다. 최소공배수를 쓰는 이유는 수를 가장 작게 유지해 계산과 약분을 줄이기 위해서입니다.

4소인수분해 — 최대공약수와 최소공배수를 규칙으로 구하기

배수를 나열해 찾는 방법은 4와 6처럼 작은 수에서는 편하지만, 18과 24처럼 커지면 번거롭습니다. 소인수분해를 하면 나열 없이 바로 구할 수 있습니다.

겹치는 소인수만 곱하면 최대공약수, 양쪽 소인수를 모두 모아 곱하면 최소공배수입니다. 같은 소인수가 여러 번 나오면 최소공배수에서는 더 많이 나온 쪽의 개수를 따릅니다. 예를 들어 18 = 2×3², 24 = 2³×3이면 최대공약수는 2×3 = 6, 최소공배수는 2³×3² = 72입니다.

그리고 두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수라는 관계가 항상 성립합니다. 4×6 = 24 = 2×12 이므로, 한쪽을 알면 다른 쪽은 나눗셈 한 번으로 나옵니다.

5약수와 최대공약수 — 답을 기약분수로

통분이 “같은 수를 곱해 분모를 키우는 일”이라면, 약분은 그 반대로 “같은 수로 나눠 분모를 줄이는 일”입니다. 나눌 수 있는 수가 곧 공약수이고, 최대공약수로 나누면 한 번에 기약분수가 됩니다.

4와 12의 최대공약수는 4이므로 분자와 분모를 4로 나눠 13이 됩니다. 2로 두 번 나눠도 결과는 같지만, 최대공약수를 쓰면 한 번에 끝납니다.

6정리 — 각 개념이 맡은 일

7직접 넣어 보기

두 분수를 넣으면 소인수분해, 최대공약수, 최소공배수, 통분 과정을 함께 보여 줍니다.